« Попередня Наступна »

10.11. ЯК МІНЯЮТЬСЯ ВЛАСТИВОСТІ опціонів

 Читачі тепер уже повинні зрозуміти, що серед всіх фінансових інструментів опціони, мабуть, найбільш складні для оцінювання. Порівняємо, наприклад, проблеми скарбника, що веде справи по пакету свопів, з аналогічними проблемами, що виникають при управлінні портфелем опціонів.
Хоча оцінювання свопу - непроста справа, вартість будь-якого свопу залежить, головним чином, від одного ринкового чинника - своп- курсу, і залежність ця дуже близька до лінійної. Точно так само, у співвідношенні (8.8), виражає ціну облігаційної ф'ючерсу, багато вхідних параметрів, але ціна такого ф'ючерсу слід за ціною найдешевшої для поставки облігації, а все інше впливає мало. Іншими словами, казначею потрібно просто стежити за одним ринковим курсом, і зв'язок між цим курсом і ціною похідного інструмента, як правило, лінійна. З лінійності цієї залежності випливає, наприклад, що якщо при підвищенні своп-ставки на один базисний пункт деякий конкретний своп дорожчає на 450 доларів, то підвищення курсу на 10 базисних пунктів викличе в 10 разів більше підвищення ціни.
З опціонами все складніше, і на те є дві причини. По-перше, на опціонах позначаються не тільки зміни ціни основного активу, але також волатильність, минулий час і зміни процентних ставок. По-друге, получающаяся залежність не завжди лінійна. Може здатися, що встежити за поведінкою навіть одного опціону, не кажучи вже про портфелі, на постійно мінливому ринку- завдання вище людських сил. На щастя, ця удавана нерозв'язною завдання має рішення.
Замість того, щоб з'ясовувати, як поводиться опціон при зміні всіх показників відразу, ми розглянемо, як ціна і вартість опціону змінюються при змінах кожного з них окремо. Потім отримані залежності ми зведемо воєдино.
Як було встановлено в попередньому пункті, ціна опціону залежить від п'яти величин:
поточної ціни основних активів,
ціни виконання,
часу, що залишається до виконання опціону,
волатильності,
процентних ставок.
Ціна виконання, як правило, фіксується на самому початку і потім не змінюється. Залишається 4 змінних. Зараз ми визначимо 4 величини, що показують, як змінюється ціна опціону при зміні однієї з вхідних змінних і при незмінних інших. Визначення такі:
дельта - зміна премії при зміні ціни основних активів на одиницю, тета - зміна премії при зміні часу, що залишається до виконання, на одиницю (як правило, - на 1 День),
вега - зміна премії при одиничному зміні волатильності (як правило, - на 1%),
ро - зміна премії при одиничному зміну процентної ставки (як правило, - на 1%).
Тут для позначень взято грецькі літери, якими зазвичай користуються ті хто пов'язаний з опціонами. От ще дві, що часто зустрічаються:
лямбда - виражене у відсотках зміна премії при оди-ничного зміну ціни основних активів, гамма - зміна величини дельта при одиничному зміну ціни основних активів.
Розглянемо тепер кожну з цих величин окремо.
Дельта - безумовно, найбільш важлива характеристика чутливості ціни опціону, бо вона визначає, як змінюється ціна опціону при змінах ціни основного активу - саме ця залежність в першу чергу цікавить усіх, хто користується опціонами. При зростанні ціни основного активу на 100 опціон, що має дельта 0.40, подорожчає на 40, а опціон з дельта, рівної -0.70, знизиться на 70 пунктів. На рис. 10.39 ще раз показані графіки вартості двох колл-опціонів з ціною виконання $ 1 = DM 1.7000, але цього разу в ключових точках графіків вказані значення дельта.
І для 30-денного, і для 270-денного опціонів дельта близька до нуля, коли опціони свідомо невигідні. В області, де опціони приблизно справедливі, дельта дорівнює приблизно 0.5. Нарешті, при зростанні вигідності опціонів дельта прагне до одиниці. У 270- денного опціону описаний перехід досить гладкий. Зовсім інакше йде справа з 30-денним опціоном: дельта починає скільки-небудь помітно відрізнятися від нуля тільки при курсі $ 1 = DM 1.6000, а при курсі $ 1 = DM 1.8000 вже практично дорівнює одиниці.
Величину дельта можна інтерпретувати двома способами. Перший - згідно з визначенням - як коефіцієнт нахилу дотичної до графіка премії як функції від ціни основних активів. Це добре видно на графіках рис. 10.39. Другий полягає в тому, що дельта - це коефіцієнт хеджування, використовуваний при хеджуванні опціону основними активами.
Іншими словами, величина дельта є чисельне вираження того, наскільки схожі поведінку вартості опціону і ціни основних активів. Якщо дельта близька до нуля, то зміни ціни основ -них активів мало впливають на вартість опціону. Можна сказати, що при цьому опціон поводиться незалежно від основних активів. З іншого боку, якщо дельта близька до одиниці, то вартість опціону змінюється практично синхронно з ціною основного активу, тобто. Е. Вони поводяться дуже схоже. Таке тлумачення величини дельта пояснює, чому ця характеристика вважається настільки важливою.


ціна основних активів (курс S / DM)

 Мал. 10.39. Графік вартості опціону з відміченими значеннями параметра дельта
Тета характеризує поведінку опціону в часі. У довгострокових опціонів тимчасова вартість більше, ніж у короткострокових. Отже, у міру того, як день погашення наближається, тимчасова вартість поступово втрачається. Величина тета висловлює кількісно, ??як убуває тимчасова вартість за один день, т. Е. Вимірює спадання за часом. Це поняття пояснюється на рис. 10.40, де для трьох валютних опціонів типу $ / DM показані графіки їх тимчасових вартостей при наближенні до дня погашення. Всі три опціону мають термін 270 днів, і в момент їх продажу курс був $ 1 = DM 1.7000. Один з опціонів має ціну виконання DM 1.7000 (справедливу), два інших - DM 1.5000 і DM 1.9000, со-відповідально.
Вигідний і невигідний опціони мають невелику початкову тимчасову вартість, і природно, що й убуває вона повільно. У даному прикладі у опціонів з цінами виконання DM 1.5000 і DM 1.9000 початкове значення параметра тета одно -0.0001, т. Е. Оп- Ціон щодня втрачають в ціні приблизно DM 0.0001, і спадання тимчасової вартості аж до погашення відбувається практично лінійно.
вигідний


 Мал. 10.40. Спадання за часом і тета
Початкова тимчасова вартість справедливого опціону істотно більше, і величина тета, рівна -0.0002, помітніше відрізняється від нуля. Спадання за часом майже постійно протягом майже двох третин строку дії опціону, а потім воно поступово починає наростати. При цьому за 30 днів до виконання тета дорівнює тільки -0.0004, дорівнює -0.0007 за тиждень, і далі змінюється все сильніше в кожен з решти до виповнення днів. Внаслідок такої поведінки крива убування тимчасової стоимост і набуває параболічну форму, і опціон протягом майже 70% свого терміну зберігає більше половини своєї тимчасової вартості, а потім вона швидко зникає.
Таким чином, спадання за часом найбільш характерно для справедливих опціонів поблизу дня погашення. Для інших опціонів і / або інших періодів часу воно помітної ролі не грає. Розуміння природи величини тета важливо для покупців опціонів, найбільш інтенсивно втрачають тимчасову вартість в останні тижні перед погашенням опціону.
Вега характеризує чутливість опціону до волатильності. Так як більш висока волатильність означає більшу невизначеність, а невизначеність проявляється у вигляді першої компоненти тимчасової вартості, опціон буде обходитися тим дорожче, чим вище волатильність. Це добре видно на рис. 10.41, де изображе-


 Мал. 10.41. Вега - чутливість до волатильності
на залежність вартості від волатильності для двох справедливих опціонів з термінами виконання 270 і 30 днів.
На відміну від величини тета, вега має сенс, в основному, для довгострокових опціонів, і характер залежності тут також приблизно лінійний. Майже у всьому діапазоні зміни волатильності, показаному на рис. 10.41, збільшення волатильності на 1% призводить до збільшення вартості 270-денного опціону на 56 пунктів, а 30-денного - на 19 пунктів.
Ро: ця характеристика чутливості, ймовірно, використовується рідше інших, оскільки процентні ставки відносно стабільні, і тому немає необхідності відстежувати, як вони впливають на величину премії за опціон. Для повноти картини на рис. 10.42 показані розміри премій за опціон для різних рівнів процентних ставок, а також значення ро в трьох ключових точках графіків. Як і вега, ро має сенс, в основному, для довгострокових опціонів.
Всі розглянуті характеристики чутливості мають одну загальну властивість: всі вони висловлюють, як змінюється премія за опціон при зміні на одиницю одного з показників, що визначають ціну опціону. Тому величини дельта, тета, вега і ро вимірюються в тих же одиницях, що і сама премія. Так, для валютних опціонів, які використовувалися у всіх прикладах цього пункту, ціна колл-опціону на долари виражається в німецьких марках, і, отже, одиницею виміру для всіх розглянутих величин буде марка або якась її частка.
0.1500
270 днів 30 днів


р = 0.0049
2 0.1000 Q
к
2 0.0500
р = 0.0007
р = 0.0007
р = 0.0007
0.0000
8
10 вересня
0 1 2 3 4 5 6 7
процентна ставка в DM (%)

 Мал. 10.42. Ро - чутливість до рівня процентних ставок
Лямбда *, як і дельта, вимірює залежність премії за опціон від змін ціни основних активів. Тільки тепер ця залежність вимірюється не в абсолютних термінах: величина лямбда вимірює відсоткову зміну премії при процентному зміну ціни основних активів, і її можна обчислити, розділивши * дельта на частку від ділення премії за опціон на ціну основних активів. Таким чином, лямбда характеризує зв'язок між цінами основних активів і опціону; ця величина називається «левередж» (leverage; один з сенсів цього слова - відношення довжин двох плечей важеля). Нескладно показати, що левередж завжди більше одиниці. На рис. 10.43 показана та ж сукупність цін опціонів, що і на рис. 10.39, тільки на цей раз на графіках вказані значення лямбда.
Як видно з цифр, навіть найвигідніші з розглянутих опціонів мають левередж не менш 5. Це означає наступне: якщо намічається підвищення курсу долара, то інвестор може отримати в п'ять разів більший прибуток, якщо він вкладе, наприклад, DM 100,000 в опціони на долари, а не безпосередньо у долари. Зрозуміло, левередж - палиця з двома кінцями. Цей же інвестор втратить на опціонах в 5 разів більше, ніж на основному активі, якщо долар впаде.
В оригіналі - «помноживши» (multiplying). Варто відзначити, що як дельта, так і лямбда, строго кажучи, є диференціальними характеристиками: дельта - це похідна вартості опціону як функції від ціни основних активів, а лямбда - похідна логарифма вартості опціону як функції від логарифма ціни основних активів. Тому збільшення цін у визначеннях дельта і лямбда повинні бути мінімально можливими (строго кажучи, нескінченно малими). - Прим. ред.
Згадаймо, що дельта опціону дорівнює коефіцієнту хеджування, і, отже, гамма показує, як змінюється коефіцієнт хеджування при змінах ціни основного активу. Тому опціони з малим значенням гамма хеджувати просто, так як при флуктуаціях основної ціни коефіцієнт хеджування змінюється слабо, а опціони, у яких значення гамма велике, - важче, оскільки дилер повинен постійно коригувати структуру хеджу для нейтралізації ризику. Як видно з табл. 10.7, такі дії обходяться досить дорого, і це ще одна причина, через яку справедливі опціони, що мають найбільше гамма, коштують дорожче інших опціонів.


Отже, ми розібралися з кожною з наших грецьких літер окремо. На рис. 10.45 зібрані разом 4 ключові характеристики: дельта, гамма, тета і вега, - так що легко буде провести порівняння. На кожному з графіків показана залежність однієї з цих характеристик від ціни основного активу в 4 моменти терміну опціону: за 270, 90, 30 і 1 день до виконання.
З графіків дельта добре видно, як гладка характеристика довгострокового опціону в міру наближення дня виконання стає більш різко змінюється, і врешті-решт, за день до виконання, дельта приймає практично тільки два значення - нуль або одиниця. У цьому відбивається поступове прояснення основного питання: буде опціон виконаний чи ні. За багато місяців до виконання відповідь зовсім неясний, навіть якщо ціна основних активів сильно відрізняється від ціни виконання. Коефіцієнт хеджування не відхиляється суттєво від 0.5 (оскільки опціон, так би мовити, хеджирует свої результати). У міру наближення дня виконання залишається все менше можливостей для істотної зміни ціни основного активу, стає все більш ясно, буде опціон при виконанні вигідним або ж невигідним.
Поведінка показника гамма прямо залежить від поведінки дельта. Адже гамма - це не тільки кривизна графіка премії як функції від основної ціни, її ще можна визначити як коефіцієнт нахилу дотичної до графіка дельта як функції від основної ціни. Поки до виконання залишається ще багато часу, дельта не має сильних змін, і гамма залишається маленькою навіть для справедливих опціонів. У міру наближення дня виконання дельта набуває все більшої нестійкість в околиці ціни виконання, і відповідно до цього зростає гама. Однак далеко від ціни виконання дельта прагне до нуля або до одиниці, маючи при цьому слабо змінюється графік, так що гамма тут знову приймає маленькі значення. «<І« К <і QJ А d X Я Я про fct «<і Про Про CN ON го -

вхех
оот
06'I
08'I
01'I
09 'I
OS'I
ч ч _
J L
0YI
I 1 I I
ТОВ го - ГЧ пан ТОВ ТОВ
о о о BJ39
про про
ЧО ІЛ
про про
про про
про про
о
про про
о о о

оот
06'I 08'I OL'l 09 * 1 OS'I 0VI
о
ЧО
о
про про
о
про про
оот
і «« Д W W
& X X Про ««
про про
(N а \ го
* 06'I
ь //
08'I
S
Q «
CQ
і 3
Я і про X і про
їй X
X
Q ^
CQ Про
ра
/ I.
т _
0Z "!
в

ч
и
і «
091
про і
1 \
11
\ '\
У
і О Л
X

ОП
І | I
про про
про 00
о о о
о
(N
О
г-Н
О
LO Про
0S "! Я
ВХЧІГЗЇЇ
Мал. 10.45. Порівняння величин дельта, гамма, тета і вега
Графік величини тета схожий на перевернутий графік гамма. Так само, як і гамма, тета особливо яскраво виражена для справедливих опціонів незадовго до виконання. Однак тета на відміну від гамма демонструє невелику асиметрію між невигідними і вигідними опціонами. Причина цього - у витратах на підтримку позиції які виникають тільки при хеджуванні і оцінюванні справедливих опціонів.
Графіки вега відрізняються від інших. Три інші величини на рис. 10.45 сильніше змінюються для короткострокових опціонів, і це добре видно на малюнках. Навпаки, чутливість до волатильності властива в першу чергу довгостроковим опціонах, і свої найбільші значення вега приймає в досить широкій області зміни ціни основних активів.
Як приклад використання всіх розглянутих «грецьких» показників розглянемо валютний справедливий опціон з наступними характеристиками: вид опціону колл на $ / пут на DM премія 0.0763 ціна виконання 1.7000 дельта 0.6014 ціна осн. активів 1.7000 тета -0.0002 термін виконання 270 днів вега 0.0055 процентна ставка (по DM) 6% ро 0.0071 процентна ставка (по $) 3% лямбда 13.40 волатильність 10% гамма 0.0254
Припустимо, що через тиждень курс долара підніметься до 1.7500, процентна ставка в марках впаде на 1%, а волатильність підвищиться на 2%. Як таке комбіноване зміна умов вплине на ціну опціону? Щоб отримати відповідь, можна за допомогою «грецьких» параметрів визначити ефект кожної зміни в окремо, а потім результати скласти. У табл. 10.8 обчислюються вклади кожної з компонент і показано, що їх сумарний ефект зводиться до збільшення премії на 0.0326. Остаточно отримуємо, що премія стане дорівнює 0.0763 + 0.0326 = 0.1089.
Насправді, якщо опціон переоцінити точно, то премія виявиться рівною 0.1106, а її пріращеніе- 0.0343. Точну відповідь трохи відрізняється від отриманого нами вище, тому що зміни були досить великими за величиною. Справа в тому, що деякі з характеристик, позначених грецькими буквами, особливо дельта, дають точний результат тільки для невеликих змін зовнішніх умов. Дійсно, при вказаному значенні гамма для цього справедливого опціону підвищення основної ціни до 1.75 спричинить збільшення дельта на 0.13. Тим не менш, у нашому прикладі позначаються грецькими буквами величини дозволяють за допомогою нескладних обчислень отримати відповідь з точністю 2%. Фактор Характеристика Зміна X чутливість Ефект Зміна ціни дельта 0.0500 х 0.6014 +0.0301 основного активу Хід часу тета 7 х (-0.0002) -0.0014 Зміна вола вега 2 х 0.0055 +0.0110 тільності Зміна про ро -1 х 0.0071 -0.0071 центной ставки Разом +0.0326 Таблиця 10.8. Приклад використання характеристик чувстви ності опціону до різних факторів
Введені в цьому пункті характеристики опціонів починають працювати на повну силу при оцінці впливу ринкових коливань на портфель опціонів. Чотири зважені суми величин дельта, тета, вега і гамма, відповідних окремим опціонах, дають можливість описувати поведінку всього портфеля опціонів. Таким чином, для досить точної оцінки сукупного ефекту ринкових змін можна замість переоцінки кожного з, можливо, тисячі опціонів провести обчислення, аналогічні містяться в табл. 10.8.
Цю ідею можна розвинути. Щоб забезпечити стійкість портфеля по відношенню до змін ціни основних активів, потрібно стежити тільки за тим, щоб сума всіх величин дельта по портфелю була рівна нулю. Портфель з такою властивістю називається дельта-нейтральним. У цьому полягає суть так званого дельта- хеджування.
Література:
Мається багато книг, цілком присвячених опціонах. Читачам, що бажають заглибитися в цю проблематику, можна порадити почати з оригінальної статті Блека і Шоулса 1973 року. Решта книги в списку, крім загальних відомостей, містять кожна свій особливий погляд на цей захоплюючий предмет.
Black, Fischer and Scholes, Myron, «The pricing of options and corporate
liabilities », Journal of Political Economy, 81 (1973), pp. 637-659. Cox, John C., and Rubinstein, Мят-V rw; - 7 -
Графік величини тета схожий на перевернутий графік гамма. Так само, як і гамма, тета особливо яскраво виражена для справедливих опціонів незадовго до виконання. Однак тета на відміну від гамма демонструє невелику асиметрію між невигідними і ви-придатними опціонами. Причина цього - у витратах на підтримку позиції які виникають тільки при хеджуванні і оцінюванні справедливих опціонів.
Графіки вега відрізняються від інших. Три інші величини на рис. 10.45 сильніше змінюються для короткострокових опціонів, і це добре видно на малюнках. Навпаки, чутливість до волатильності властива в першу чергу довгостроковим опціонах, і свої найбільші значення вега приймає в досить широкій області зміни ціни основних активів.
Як приклад використання всіх розглянутих «грецьких» показників розглянемо валютний справедливий опціон з наступними характеристиками: вид опціону колл на $ / пут на DM премія 0.0763 ціна виконання 1.7000 дельта 0.6014 ціна осн. активів 1.7000 тета -0.0002 термін виконання 270 днів вега 0.0055 процентна ставка (по DM) 6% ро 0.0071 процентна ставка (по $) 3% лямбда 13.40 волатильність 10% гамма 0.0254
Припустимо, що через тиждень курс долара підніметься до 1.7500, процентна ставка в марках впаде на 1%, а волатильність підвищиться на 2%. Як таке комбіноване зміна умов вплине на ціну опціону? Щоб отримати відповідь, можна за допомогою «грецьких» параметрів визначити ефект кожної зміни в окремо, а потім результати скласти. У табл. 10.8 обчислюються вклади кожної з компонент і показано, що їх сумарний ефект зводиться до збільшення премії на 0.0326. Остаточно отримуємо, що премія стане дорівнює 0.0763 + 0.0326 = 0.1089.
Насправді, якщо опціон переоцінити точно, то премія виявиться рівною 0.1106, а її пріращеніе- 0.0343. Точну відповідь трохи відрізняється від отриманого нами вище, тому що зміни були досить великими за величиною. Справа в тому, що деякі з характеристик, позначених грецькими буквами, особливо дельта, дають точний результат тільки для невеликих змін зовнішніх умов. Дійсно, при вказаному значенні гамма для цього справедливого опціону підвищення основної ціни до 1.75 спричинить збільшення дельта на 0.13. Тим не менш, у нашому прикладі позначаються грецькими буквами величини дозволяють за допомогою нескладних обчислень отримати відповідь з точністю 2%. Фактор Характеристика Зміна х чутливість Ефект Зміна ціни дельта 0.0500 х 0.6014 +0.0301 основного активу Хід часу тета 7 х (-0.0002) -0.0014 Зміна вола вега 2 х 0.0055 +0.0110 тільності Зміна про ро -1 х 0.0071 -0.0071 центной ставки Разом +0.0326 Таблиця 10.8. Приклад використання характеристик чутливих-ності опціону до різних факторів
Введені в цьому пункті характеристики опціонів починають працювати на повну силу при оцінці впливу ринкових коливань на портфель опціонів. Чотири зважені суми величин дельта, тета, вега і гамма, відповідних окремим опціонах, дають можливість описувати поведінку всього портфеля опціонів. Таким чином, для досить точної оцінки сукупного ефекту ринкових змін можна замість переоцінки кожного з, можливо, тисячі опціонів провести обчислення, аналогічні містяться в табл. 10.8.
Цю ідею можна розвинути. Щоб забезпечити стійкість портфеля по відношенню до змін ціни основних активів, потрібно стежити тільки за тим, щоб сума всіх величин дельта по портфелю була рівна нулю. Портфель з такою властивістю називається дель- та-нейтральним. У цьому полягає суть так званого дельта- хеджування.
Література:
Мається багато книг, цілком присвячених опціонах. Читачам, що бажають заглибитися в цю проблематику, можна порадити почати з оригінальної статті Блека і Шоулса 1973 року. Решта книги в списку, крім загальних відомостей, містять кожна свій особливий погляд на цей захоплюючий предмет.
Black, Fischer and Scholes, Myron, «The pricing of options and corporate
liabilities », Journal of Political Economy, 81 (1973), pp. 637-659. Cox, John C., and Rubinstein, Mark, Options Markets (Prentice-Hall, 1985).
Figlewski, Stephen, and Silber, William L., and Subrahmanyam, Marti G., Financial Options - From Theory to Practice (Salomon Brothers Center for the Study of Financial Institutions, 1990).
Gemmill, Gordon, Options Pricing - An International Perspective
(McGraw-Hill, 1993). Hull, John C., Options, Futures, and other Derivative Securities (Prentice-
Hall, 2nd edition, 1993). Jarrow, Robert and Rudd, Andrew, Option Pricing (Irwin, 1983).

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =

10.11. ЯК МІНЯЮТЬСЯ ВЛАСТИВОСТІ опціонів

  1. Еволюція технології сучасного менеджменту
     За останні два століття бізнес і менеджмент як його технологія вчинили інтенсивну еволюцію. Її етапи визначалися факторами, від яких вирішальним чином залежав успіх справи. Змінюються фактори успіху - змінюється технологія ефективного бізнесу, а, отже, змінюються і вимоги до професіоналізму менеджерів і
  2. Властивість
     Властивістю називається об'єктивна здатність продукції, яка може виявлятися при її створенні, експлуатації та по
  3. 3. Рішення про якість і властивості товару.
     Якість - це сукупність властивостей і характеристик продукції або послуг, що додають їм здатність задовольняти потребу. Розрізняють: фізичні властивості - визначають матеріальні характеристики товару (вага, об'єм, колір, смак, надійність, термін служби, технологічні параметри, матеріал і т. П.); естетичні властивості - визначають зовнішнє виконання товару і ха-рактеризует двома
  4. Зміст
     13.1. Марківське властивість ................................................ ...................... 2 13.2. Стохастичні процеси з безперервним часом ............................ 3 13.3. Процес, що описує зміну ціни акції .................................... 8 13.4. Параметри ................................................. ................................ 13 13.5. Лемма Іто ................................................ .................................... 13 13.6. Властивість логонормальності ................................................ ............
  5. Властивості
     - Стійка сукупність притаманних об'єкту особливостей (ознак, проявів) відрізняє об'єкт від загального фону. Властивості дозволяють виділяти об'єкти з їх природнього безлічі і використовуються людиною в якості класифікаційних
  6. Властивість продукції
     - Об'єктивна особливість продукції, яка може виявлятися при її створенні, експлуатації або споживанні. Якість продукції формується на всіх етапах її життєвого циклу. Властивості продукції виражаються показниками якості - кількісними характеристиками однієї або кількох властивостей продукції, що входять в якість і розглянутих стосовно до певних умов її створення та
  7. 3 Властивості двовимірного нормального розподілу
     . \ "г) - f Розглянемо двовимірну випадкову величину, розподілену згідно нормальному закону: Я - yn X \ p & X OY & Y J Її щільність розподілу задається наступним виразом: x -" X \ 2 + (y - "Y ^ 2 - 2p (x - "X) (y -" Y) Ox Oy f (X, Y) (x, y) exp uX 0Y 2noXOY \ J 1 - p2 2 (1 - p2) Нижче перераховані властивості такого розподілу, 1, Кожна з компонент двовимірної нормальної величини розподілена
  8. Якість
     - Сукупність властивостей і характеристик продук ції, які надають їй здатність задовольняти обумовлений ні або передбачувані потреби (ІСО 9000: 2000). Качест8 во - сукупність властивостей продукції, що обумовлюють її при придатність задовольняти певні потреби у відповід ності з її призначенням (ГОСТ 15467
  9. Чисто суспільне благо
     таке благо, яке споживається колективно всіма громадянами незалежно від того, платять люди за нього чи ні. Чисто суспільне благо характеризується двома властивостями: Невибірковим і неісключаемо- стю в споживанні. Такими властивостями володіє, наприклад, національна
  10. Корисність
     здатність матеріального продукту або послуги задовольняти якісь потреби людей. В економічній теорії під корисністю мається на увазі все те, що задовольняє сформовані потреби і звички (навіть те, що завдає шкоди здоров'ю людей: сигарети, наркотики і т. П.). Самі потреби можуть породжуватися як біологічними потребами, так і духовними, соціальними запитами. Люди відкривають
  11. Оцінка варіантів.
     Споживач використовує інформацію для того, щоб скласти для себе комплект марок товарів, з якого виробляється остаточний вибір. Важливо розуміти, як саме відбувається вибір серед декількох марок, як споживач оцінює інформацію. Кожен споживач розглядає будь-який даний товар як певний набір властивостей. Наприклад, для губної помади це колір, вид упаковки, престижність,
  12. Запити
     . Потреби людей практично безмежні, але ресурси для їх задоволення обмежені. Людина буде вибирати товари, які доставлять їй найбільше задоволення в рамках його фінансових можливостей. Запит - це потреба, підкріплена купівельною спроможністю. Неважко оцінити запити конкретного суспільства в певний період. Суспільство могло б планувати обсяги виробництва на