« Попередня Наступна »

6 Асимптотичні статистичні висновки

 Ідея побудови статистичних висновків за допомогою асимптотичного методу до-вільно очевидна. Замість точного розподілу оцінки береться асимптотическое, на підставі якого будуються розподілу тестових статистик. Приклад. Нехай
Vn (Zn - Д N (0, а2).
У даному випадку ми маємо справу з вибірковим середнім Zn, яке згідно ЦПТ має асімтотіческі нормальний розподіл. Зауважимо, що в даному випадку розподіл залежить від невідомого параметра а2, тому статистика Zn є асімтотіческі непівотал'ной статистикою.
Визначення. Статистика називається (асімтотіческі) півотальной, якщо її (асимптотичне) розподіл не залежить від невідомих параметрів.
Повертаючись до нашого прикладу, ми можемо отримати півотальную статистику, побудувавши заможну оцінку дисперсії а2:
v / n (Zn - vMZn - а d
N (0,1),
аа а аа
т. к. згідно ЦПТ - ^ / n (Zn - р) / а - N (0, 1), а в силу спроможності оцінки а2, а / а - 1, Тепер, знаючи асимптотическое розподіл побудованої статистики можна побудувати довірчий інтервал .
 Так асімтотіческій довірчий інтервал для р буде
V - JLqN (0, i) Z + JLqN (0, i)
Z n / - Уі_ a n + .- yi_ a
i / n i 2 yn i 2 ^
Припустимо тепер, що нам потрібно протестувати гіпотезу H0: р = р0, Згідно побудованому нами a-процентному довірчому інтервалу гіпотеза буде відхилятися, якщо - ^ / n | Zn - р0 | / а> qi - * ^. В іншому випадку гіпотеза приймається, Залишилося побудувати заможну оцінку дисперсії. Виявляється, вибіркова дисперсія буде спроможною оцінкою для дисперсії:
1
1
"У ^ (Zi - Zn)
2
2
а
а,
\
\
n
n
У (Zi - р) 2 - (Zn - р)
i = i
i = i
\ 2 Р
оскільки з ЗБЧ випливає, що n = i (Zi - р) 2 E [(Zi - р) 2] = А2 і (Zn - р) 2 0
« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =

6 Асимптотичні статистичні висновки

  1. 2 Концепції асимптотичної теорії
     Часто використовуваними поняттями асимптотичної теорії є спроможність, асимптотична нормальність і асимптотична ефективність. Нехай нас цікавлять асимптотичні властивості оцінки / ЗГА, отриманої з вибірки розміру п. Оскільки ми припускаємо випадкову природу вихідних даних, побудована оцінка буде випадковою величиною. Таким чином, ми маємо послідовність випадкових
  2. 6 Додаток: модель бінарного вибору
     Розглянемо наступну нелінійну модель: / і хів + Єі> 0, уі = <Єі | хі ~ N (0,1). 0, Знайдемо форму регресії: E [у | х] = P {х'в + Є> 0 | х} = P {Є> -х'в | х} = Ф (х'в). Видно, що регресія нелінійна, НМНК-оцінка в цьому випадку є 1n в = argmin- у (yi - Ф (х'б)) 2 bni = 1 з асимптотичними властивостями Д Д в, -П (залізничний в) Д N ( 0, Q "g1Qe2ggQ ^, 1), де ge (х, в) = f (х'в) х, Qgg = E [f (х'в) 2хх '], Qe2gg = E [f (х'в) 2 (у
  3. 10 Бутстрапірованіе ОММ-оцінок
     Нагадаємо, що бутстрап - це альтернативний асимптотиці спосіб побудови статистичних висновків. Бутстрап використовується, коли нас не влаштовує асимптотичне наближення через його неточності. А розподілу ОММ-оцінки і особливо J-статистики якраз погано наближаються їх асимптотичними розподілами. Отже, генеруємо бутстраповскіе псевдовиборкі У {zi, ..., zn} i {zb. . . , Zn}>. . . \
  4. 3 Асимптотичні властивості ОММ-оцінок
     Як і раніше, найважливішою умовою є умова ідентифікації: E [m (z, q)] = 0 тоді і тільки тоді, коли q = 0. Позначимо = E Гdm (z, 0) 'lxk L dq' Qmm = E [m (z, 0) m (z, 0) ']. Ixl При сприятливих умовах, ОММ-оцінка спроможна: 0 Д 0; ОММ-оцінка асимптотично нормальна: v / i (9 - 0) Д N (0, Vj); Асимптотична дисперсійна матриця ОММ-оцінки дорівнює V- = (QdmWQdm) -iQdmWQmmWQdm (QdmWQdm) -i.
  5. Асимптотична нормальність
     важлива з тієї причини, що перевірка статистичних гіпотез і побудова довірчих інтервалів вимагають знання розподілу оцінки, а т. к. точного розподілу ми не знаємо, користуємося асимптотическим, нормальним, розподілом. Тут фігурує саме нормальний розподіл, оскільки граничні теореми, що є серцем асімптотітеской теорії, говорять саме про нормальність емпіричних
  6. 5 Асимптотична ефективність і ВНМНК-оцінка
     НМНК-Оцепки можна розглядати як аналогову оцінку, отриману з умови E [ege (х, в)] = 0, Можна побудувати іншу аналогову оцінку, дещо змінивши умова неекоррелірованноеті: GE (ж, /) "0. E а2 (х) Це умова слід їх регресійного припущення. Згідно з принципом анало гии, 1Ё (у - g (*, J)) Яо ^ о. i = 1 Рішення в, отримане з цього рівняння, є оцінкою зваженого нелінійного
  7. 4 Неповна ідентифікація
     Qzx до В інструментах не вистачає інформації, здатної однозначно ідентифікувати параметр, У цьому випадку інструментальні оцінки будуть мати неприємні асимптотичні властивості. Приклад. Розглянемо наступну модель: l = к = 1, y = вх + e, E [e \ Z] = 0, E [XZ] = 0. Остання рівність означає, що ранг дорівнює 0, т. Е. Не виконана умова релевантності інструментів . Згідно центральної граничної
  8. 2 Асімтотіческіе властивості МНК-оцінки
     Для з'ясування асимптотичних властивостей МНК-оцінки перепишемо її в наступному вигляді: (1 n \ -1 1 П в = в + - У xixi - УхІЄІ. \ N / n \ i = 1 J i = 1 - p Як ми вже знаємо, МНК-оцінка спроможна, т. е. Д - в| Крім того, МНК-оцінка асимптотично розподілена за нормальним законом: (n \ 1 nn Y1 ХІХІ) xiei - N 2xx, i = 1 / * i = 1 де ми використовували такі позначення: Qxx = E [xx '], Qe * xx = E [e2xx' \ =
  9. 4 Асимптотична ефективність ММП-оцінок
     Наведемо що іноді зустрічається твердження про симптотичену ефективності ММП-оцінок. Невірний результат. Оцінка максимальної правдоподібності 9 асимптотично ефективна в класі заможних асимптотично нормальних оцінок. Це невірно через існування так званих суперефективністю оцінок. Нехай оцінка яку ми вважаємо ефективною, спроможна і асимптотично нормальна, т. Е. / П (в - 9)
  10. 6 Асімтотіческое рафінування
     Іноді кажуть, що за допомогою бутстрапа досягається асімтотіческое рафінування, У цій главі ми обговоримо, що таке асімтотіческое рафінування і в яких випадках воно має місце. Нехай у нас є деяка статистика дійсний розподіл якої Fg- (x), Позначимо бутетраповекое розподіл цієї статистики через (x), Кажуть, що за допомогою бутстрапа досягається асімтотіческое рафінування,
  11. 2 Асимптотичні властивості оцінок максимальної правдоподібності
     При сприятливих умовах, ММП-оцінка спроможна: в - в; ММП-оцінка асимптотично нормальна: vM ^ - в) - N (0, Vj); Асимптотична дисперсійна матриця ММП-оцінки дорівнює V, = (E [h **]) - 1 E [h * h *] (E [h **]) - 1 = (-I (в)) - 1І (в) (-І (в)) - 1 = (I (в)) - 1. Те, що «сендвіч» скоротився, є показником ефективності, що ми пізніше розглянемо докладніше. Отже, у нас є два способи оцінювання
  12. 3 Сверхідентіфікація
     Розглянемо випадок, коли l> k (випадок сверхідентіфікаціі). Нехай матриця Qzz невирождени. Ідея побудови інструментальної оцінки в цьому випадку полягає в наступному. Спочатку знайдемо лінійний по z предиктор x: x = rz + u, E [zu '] = 0. З останньої умови знаходимо Г: E [z (ж - rz)'] = 0 ^ Г '= (E [zz'] ) -1E [zx '] = Q "1 ^ *. Тепер, повертаючись до вихідної структурній формі, ми можемо написати: y = (rz + u)' e
  13. 5 Асімтотіческіе властивості ОМНК-оцінок
     Розглянемо асімтотіческіе властивості ОМНК-оцінки, Для цього представимо її в сле-ступному вигляді: 1 п '\ 1 - п X ^ xixi - v ^ xiei = 1 a2 (xi)) n ^ a2 (xi) Д = в + -Е -Е 1 n .. a2 (xi) / n 'Користуючись законом великих чисел і центральною граничною теоремою, отримаємо: 1Е QE xx / a2 ХІХ и P a2 (x) n = 1 a2 (xi) = 1 a2 (xi) 0 E xe a2 (x) xiei p 1V n VN (0, Q xx / a2 E [e2 \ x] xiei d Vn a2 (xi) Останній вираз
  14. 11 Поведінка ОММ-оцінок в кінцевих вибірках
     Помічено, що двоступенева ОММ-оцінка володіє поганими властивостями в маленьких вибірках, іноді буваючи навіть менш ефективною, ніж асимптотично неефективні ОММ-оцінки (наприклад, з рівномірним зважуванням W = I). Причини цього - це, по перше, те що на першому кроці ми оцінюємо порядку l2 елементів матриці Qmm, що складно зробити точно, особливо коли є багато умов на моменти, і