« Попередня Наступна »

2 Асімтотіческіе властивості МНК-оцінки

 Для з'ясування асимптотичних властивостей МНК-оцінки перепишемо її в наступному вигляді:
(1 n \ -1 1 П в = в + - У xixi - УхІЄІ. \ N / n
\ I = 1 J i = 1 - p
Як ми вже знаємо, МНК-оцінка спроможна, т. Е. Д - в| Крім того, МНК-оцінка асимптотично розподілена за нормальним законом:
(n \ 1 n
n Y1 ХІХІ) xiei - N 2xx, i = 1 / * i = 1
де ми використовували такі позначення:
Qxx = E [xx '], Qe * xx = E [e2xx' \ = Var [xe}.
Наведені асимптотичні властивості випливають з ЗБЧ і ЦПТ, Із закону великих чисел випливає, що
1 N р
/, Xi xi ^ E [xx] Qxxi
71 t J
1 n
- У xiei - E [xe] = E [xE [e \ x \] = 0,
n | <- '
n
i = 1
що тягне спроможність МНК-оценкн, З центральної граничної теореми для незалежних однаково розподілених величин випливає, що
1 п
xiei Д N (0, Var [xe]) = N (0, Qe2xx),
Vn i = 1
що тягне асимптотическую нормальність МНК-оценкн.
Розглянемо спеціальний випадок, коли регрессонная помилка умовно гомоекеда- етичний, т. Е. E [e2 |?? x] = а2 = const. У цьому випадку Qe2xx = a2Qxx і аеімтотічеекое розподіл МНК-оценкн має дисперсионную матрицю в спрощеному вигляді:
^ (Д - в) Д N (0, a2Q-1).
Крім того, легко побудувати заможну оцінку цій дисперсійної матриці:
1 п 1 п
(Г2 = - y ^ (yi - xi /?) 2 Д а2, = 1 V "xixi Д Qxx.
nn
i = 1 i = 1
Спроможність першої оцінки випливає з ЗБЧ. Спроможність останньої досить легко показати:
1п
n? (y - xi /) 2 = i = 1
= - J> i - xi /) 2 + - J> ie - xi /?) 2 + - J> i - xi /) (xie - xi /?) = N ^ n 'n ^
i = 1 i = 1 i = 1 1 п 1 п 2 п
= - J> i - xi /) 2 + (/ - в) '- E ^ (в - /?) + - J> i - xi /) xi (e - в).

n '\ n ^ j n'
i = 1 \ i = 1 / i = 1
Далі, застосовуючи ЗБЧ і теорему Слуцького, отримаємо:
1 п
1? (УІ - xi /) 2 Д а2,
71 t ^
n
і = 1
- N
(в - в) '-Е ^ i (в - в) Д 0,
n
V i = 1
2п
-5> I - xi /) xi (/ - в) Д 0.
n
і = 1
Все разом тягне спроможність оцінки умовної дисперсії регресійної ошиб-ки:
-1 П
n Е (уі - xi /?) 2 Д а2.
n
І = 1
Тепер розглянемо загальний випадок умовної гетероскедастичності, У цьому випадку нам потрібно заможно оцінити матрицю Qe2xx- Можна показати, що заможної
оцінкою цієї матриці буде наступна:
- П
/ Xixi (yi xi / () ^ Qe2a m? - '
; e2xx
n
i = 1
Отже, заможна оцінка дисперсійної матриці МНК-оценкн у разі умовної гетероскедастичності запишеться як
Будемо називати стандартною помилкою оцінки величину
н
se (() .zn
J jj
Тоді відповідна t-статистика буде асимптотично півотальной оцінкою, асимптотическое розподіл якої є стандартним нормальним:
tj = Д N (0, -).
Вальдовская статистика для обмежень загального вигляду Л, (в) = 0, де число обмежень l ^ Г ^^ ^ 1 -1 ^ J
W = ВД '| # нЯ'] ВД Д x2 (l),
де використані позначення
Н = зад н = dhH
« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =

2 Асімтотіческіе властивості МНК-оцінки

  1. 5 Асімтотіческіе властивості ОМНК-оцінок
     Розглянемо асімтотіческіе властивості ОМНК-оцінки, Для цього представимо її в сле-ступному вигляді: 1 п '\ 1 - п X ^ xixi - v ^ xiei = 1 a2 (xi)) n ^ a2 (xi) Д = в + -Е -Е 1 n .. a2 (xi) / n 'Користуючись законом великих чисел і центральною граничною теоремою, отримаємо: 1Е QE xx / a2 ХІХ и P a2 (x) n = 1 a2 (xi) = 1 a2 (xi) 0 E xe a2 (x) xiei p 1V n VN (0, Q xx / a2 E [e2 \ x] xiei d Vn a2 (xi) Останній вираз
  2. 6 Асимптотичні статистичні висновки
     Ідея побудови статистичних висновків за допомогою асимптотичного методу до-вільно очевидна. Замість точного розподілу оцінки береться асимптотическое, на підставі якого будуються розподілу тестових статистик. Приклад. Нехай Vn (Zn - Д N (0, а2). У даному випадку ми маємо справу з вибірковим середнім Zn, яке згідно ЦПТ має асімтотіческі нормальний розподіл. Зауважимо, що в даному
  3. Наближений підхід
     заснований на апроксимації істинного розподілу досліджуваної статистики, В даний час існує два методи в наближеному підході: асімтотіческій і
  4. 6 Асімтотіческое рафінування
     Іноді кажуть, що за допомогою бутстрапа досягається асімтотіческое рафінування, У цій главі ми обговоримо, що таке асімтотіческое рафінування і в яких випадках воно має місце. Нехай у нас є деяка статистика дійсний розподіл якої Fg- (x), Позначимо бутетраповекое розподіл цієї статистики через (x), Кажуть, що за допомогою бутстрапа досягається асімтотіческое рафінування,
  5. 2 Концепції асимптотичної теорії
     Часто використовуваними поняттями асимптотичної теорії є спроможність, асимптотична нормальність і асимптотична ефективність. Нехай нас цікавлять асимптотичні властивості оцінки / ЗГА, отриманої з вибірки розміру п. Оскільки ми припускаємо випадкову природу вихідних даних, побудована оцінка буде випадковою величиною. Таким чином, ми маємо послідовність випадкових
  6. 7 Асимптотика для стаціонарних часових рядів
     Дотепер ми розглядали асимптотичні властивості оцінок у разі незалежних спостережень, і якщо у нас є послідовність Zi, Z2, Z3, ..., Zn, ми n деннй у часі) це, взагалі кажучи, не так. Кожна траєкторія Zi, Z2, Z3, ..., ZT являє собою в загальному випадку одне спостереження, а з одного спостереження робити статистичні висновки проблематично. Тому на природу вихідних даних
  7. 8 Введення в асімтотіку для нестаціонарних процесів
     Якщо часовий ряд не стационарен, а має стохастичні тренди, побудова ста-статистичних висновків значно ускладнюється. Тут ми розглянемо найпростіший приклад важливого класу нестаціонарних процесів. Нехай Xt описується рівнянням-ем випадкового блукання, т. Е .: Xt = Xt_i + et, Xo = 0, et - iid (0, a2). Тоді вибіркове середнє виражається наступним чином 1 2 T - t + 1 T / y Xt = (+ T? T_i
  8. Опис курсу
     Курс служить введенням в принципи сучасного мистецтва економетричного оцінювання та побудови статистичних висновків (инференции) як для крос-даних, так і для часових рядів. Незадоволеність точним підходом змушує нас розглянути дві альтернативи: асімтотіческій і бутетраповекій підходи. Після вивчення важливих економетричних тонкощів обох підходів, курс концентрується на
  9. Ідея асимптотичного методу
     в тому, щоб для побудови наближеного розподілу статистики використовувати граничне (при прагненні розміру вибірки до нескінченності) розподіл вибіркових середніх. Безсумнівним достоїнством такого підходу є той факт, що використовувані граничні розподіли зазвичай є стандартними і затабулірованнимі, З іншого боку, асімтотіче- ська апроксимація розподілу оцінки
  10. Властивість
     Властивістю називається об'єктивна здатність продукції, яка може виявлятися при її створенні, експлуатації та по
  11. 3. Рішення про якість і властивості товару.
     Якість - це сукупність властивостей і характеристик продукції або послуг, що додають їм здатність задовольняти потребу. Розрізняють: фізичні властивості - визначають матеріальні характеристики товару (вага, об'єм, колір, смак, надійність, термін служби, технологічні параметри, матеріал і т. П.); естетичні властивості - визначають зовнішнє виконання товару і ха-рактеризует двома
  12. Зміст
     13.1. Марківське властивість ................................................ ...................... 2 13.2. Стохастичні процеси з безперервним часом ............................ 3 13.3. Процес, що описує зміну ціни акції .................................... 8 13.4. Параметри ................................................. ................................ 13 13.5. Лемма Іто ................................................ .................................... 13 13.6. Властивість логонормальності ................................................ ............
  13. Властивості
     - Стійка сукупність притаманних об'єкту особливостей (ознак, проявів) відрізняє об'єкт від загального фону. Властивості дозволяють виділяти об'єкти з їх природнього безлічі і використовуються людиною в якості класифікаційних
  14. Властивість продукції
     - Об'єктивна особливість продукції, яка може виявлятися при її створенні, експлуатації або споживанні. Якість продукції формується на всіх етапах її життєвого циклу. Властивості продукції виражаються показниками якості - кількісними характеристиками однієї або кількох властивостей продукції, що входять в якість і розглянутих стосовно до певних умов її створення та
  15. 3 Властивості двовимірного нормального розподілу
     . \ "г) - f Розглянемо двовимірну випадкову величину, розподілену згідно нормальному закону: Я - yn X \ p & X OY & Y J Її щільність розподілу задається наступним виразом: x -" X \ 2 + (y - "Y ^ 2 - 2p (x - "X) (y -" Y) Ox Oy f (X, Y) (x, y) exp uX 0Y 2noXOY \ J 1 - p2 2 (1 - p2) Нижче перераховані властивості такого розподілу, 1, Кожна з компонент двовимірної нормальної величини розподілена